變分學
微分運算的推廣
f(x)
F[ f(x) ] or F [f]
作用量與最小作用量
思考：無外界干擾下的運動，力學能（機械能）守恆，很好。但是，山上的石頭為什麼要滾下來？能量沒有增加呀？
受力的規則，是來自運動方程式。
方程式（有別於不等式），是有等號的。可寫成 f(x) = 0。
若是有微分操作的方程式，則可進一步看成 F[f] 的極值發生的條件。
問：什麼樣的極值問題，可以得到牛頓運動方程式？
問題說明
I = ∫x0x1 L( x(t), x'(t); t ) dt
問，怎麼樣的函數 x(t)，能讓上式 I 有極值？
這種數學問題怎麼求解？
這不同於問那一個 x 使得 f(x) 有極值
作法：依題意，x 使 df/dx = 0，故解 df/dx =0 求滿足該條件之 x 。
另外，注意這裏的特徵，L 只是 x 與 x' 的函數（而不是 x, x', x'', x''' .... 的函數）
推導
如何做 dI/dx？這個符號沒有定義，
故暫用 δI/δx 來記錄
要找的目標：各種 可能變動的函數 x(t) ，那一個（或一些？）讓 I 有極值，即 某 x(t) 為中心之微小變動愛範圍內，ΔI =0
寫下能變化的 x(t) 的形式
x(ε, t ) = x(t) + εη(t)
其中η(t) 是 t 的任意函數（但在 x0 及 x1 處為零），大小由 ε控制
δI/δx = ∂I /∂ε = ∫x0x1 (∂L /∂ε) dt
由於 L 與自變數的關係是 L = L(x, x')，因此 dL = (∂L/∂x) dx + (∂L/∂x') dx'
故∂L /∂ε= (∂L/∂x) (∂x/ ∂ ε) + (∂L/∂x') (∂x' / ∂ ε) = (∂L/∂x) η(t) + (∂L/∂x') η'(t)
上式乃因∂x' / ∂ ε = ∂x'(ε, t ) / ∂ ε= ∂(x'(t) + εη'(t)) / ∂ ε = η'(t)
∂I /∂ε = ∫x0x1 Lx η(t) dt + ∫x0x1 Lx' η'(t) dt = （使用分部積分）
∫x0x1 Lx' η'(t) dt = ∫x0x1 [d(Lx' η(t))/dt] dt - ∫x0x1 (dLx'/dt) η(t) dt = Lx' η(t)|x0x1 - ∫x0x1 (dLx'/dt) η(t) dt
則∂I /∂ε= ∫x0x1 Lx η(t) dt - ∫x0x1 d/dt(Lx') η(t) dt
= ∫x0x1 { Lx- d/dt(Lx') } η(t) dt
∂I /∂ε= 0
除非
Lx- d/dt(Lx') = 0
上式即有名的 Euler-Lagrange equation ，是積分量 I 有極值的必要條件。
Hamilton 原理與 Lagrange 運動方程式
L = T - V
使用例：
對於某個 i，如果 x''i = (k/m) xi，就好辦多了，但這裏卻不能如願 ，而有 x''i = (k/m) xi + (K/M) xi+1 + ...
這種其他的 xi+1 出現的項。
但注意，所有 等號右邊的項都作線性（一次方）的組合，這使得我們有機會寫下
x'' = M x
使得解有 x = A eiωt 的形式，其中 ω 與 A 待定，此解代入上式 後，得 -ω2 A eiωt = M A eiωt = eiωt M A，消去 eiωt 後得 -ω2 A = M A，即 M A = -ω2 A
也就是說，只要解 M v = λv 的本徵值問題，得到一組 λn 以及對應的 vn（其中 n = 1 ~ m，整數m 是矩陣 M 的維度） ，就可以確定 上式的 -ω2 及 A，而問題也就求解完畢了。
此時 A 的意義是什麼？它是
相當於原問題本來在 M A = λA 在看，作相似轉換以保持本徵值，R A = B 、R M R-1 = D，其中 D 是一個對角矩陣 ，原問題變成 D B = λB。
這時候我們會想，如果有可以重定 Xi ，其中各 Xi 是由 x1, x2, x3 ...所線性組合而成，使得這個些新的 Xi 就滿足了
X1'' = - d1 X1、 X2'' = - d2 X2、 X3'' = - d3 X3
如此，X1 = A eiωt